correct me if i'm wrong maar volgens mij wel. Het licht dat in de regendruppels voor je gereflecteerd wordt komt van voren en blijf je dus gewoon zien, je blijf de zon (of een ster) immers ook zien als je er met de snelheid van het licht op af vliegt.
Tijdens het accelereren is het wel mogelijk dat de regenboog dichterbij lijkt te komen maar op het moment dat je aan constante snelheid hebt blijft de afstand tot de regenboog mijns inziens ook constant. Het zou wel kunnen dat de regenboog vervormd wordt.

(overigens is er nog geen 100 % bewijs dat er dingen zijn die sneller dan het licht kunnen bewegen, na de recente experimenten van ZERN lijkt het echter wel zeer waarschijnlijk)

Mijn inziens beweegt de regenboog dan nog steeds mee.

Waarom? Het gaat hier om de refractie van licht in de regendruppel, zoals uitgelegd in het filmpje. Onze lichtbundel die hier refracteert (geen idee of dit een bestaand woord is) op ons begin moment T0, heeft een parallelle baan met de bundel die er net naast ligt op T1. Gezien het hier nog steeds om de refractiehoek van 40-42 graden gaat, zal er een 'virtueel' parallellogram ontstaan. Aangenomen dat de lichtbundel op T1 die je ziet er al was voordat je met een grotere snelheid dan het licht ging reizen.

Kortom, de refractiehoek blijft gelijk, dus ja.